Мышление или методы?
Развитие математического мышления или отработка методов решения задач?
Вопрос, скорее, риторический. Конечно, важно и то, и другое. Но развитие мышления я ставлю на первое место. Знание специальных методов решения задач в нестандартных ситуациях вряд ли поможет, если ваше мышление к этому не готово. Зато, при развитом математическом мышлении, любые методы осваиваются сами собой, совершенно ненавязчиво, что приводит к более эффективному их применению. Более того, это способствует поиску и принятию нестандартных решений в различных жизненных ситуациях.
Рассмотрим несколько примеров.
-
Метод решения задач "От противного".
Задача 1. Пять мальчиков нашли 9 грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.
Здесь, можно сказать, "стандартная" ситуация. Метод прекрасно работает, что называется "в лоб".
Допустим, что все мальчики нашли разное количество грибов. Пусть первый мальчик нашёл 0 грибов (кстати, об этом нуле не подготовленные ученики частенько забывают, что также можно отнести к не совсем стандартной ситуации), второй – 1 гриб, третий – 2, четвертый – 3, пятый – 4. Но тогда они нашли бы 0+1+2+3+4=10 грибов. Противоречие!
А вот другая ситуация.
Задача 2. Докажите, что в любой компании из 5 человек найдутся двое, имеющие одинаковое количество знакомых.
Допустим, что у первого человека в этой компании 0 знакомых (здесь про 0 не забыть еще важнее!), у второго - 1 знакомый, у третьего - 2 знакомых, у четвёртого - 3 знакомых, у пятого - 4 знакомых.
Вот тебе раз! На всех хватило разное количество знакомых? А если бы мы забыли про 0, то пятому как раз бы и не хватило: у первого - 1, у второго- 2, у третьего - 3, у четвертого - 4, а у пятого - 5, что не может быть (ведь кроме этого пятого в компании есть еще всего 4 человека, поэтому он не мог знать пятерых).
Однако, ноль все же есть, его никто не отменял. Так в чем же дело? Но ведь, если есть человек, у которого 0 знакомых, то не может быть человека, у которого 4 знакомых (он не может быть знаком с тем, который никого не знает). А также, если есть человек, знакомый со всеми, то нет такого, который не знаком ни с кем. Таким образом, разное количество знакомых может быть лишь от 0 до 3, либо от 1 до 4.
2. Множества.
Задача 3. В классе 17 пловцов, 6 борцов и 13 футболистов. Каждый спортсмен занимался ровно двумя видами спорта. Сколько всего в классе спортсменов?
Итак, если сложить 17+6+13=36, то получится, что всех спортсменов мы посчитали 2 раза (каждый ведь занимался двумя видами спорта). Значит, всего спортсменов было 36:2=18. Довольно простая ситуация - ничего необычного.
А теперь изменим немного начальные данные в этой задаче.
Задача 4. В классе 27 пловцов, 10 борцов и 15 футболистов. Каждый спортсмен занимался ровно двумя видами спорта. Сколько всего в классе спортсменов?
Как правило, решение проводится один в один как в предыдущей задаче: (27+10+15):2=26. И далеко не каждого смущает тот факт, что спортсменов получилось меньше, чем было одних только пловцов.
То есть здесь на лицо противоречие: такого быть не может.
Кстати, это можно было выявить еще раньше, подумав о том, что даже если бы каждый из 10 борцов и 15 футболистов был еще и пловцом, то 2 пловца остались бы лишними, при необходимости выполнения условий задачи.
3. Движение.
Увидев листик с задачами на движение, большинство учеников произносит что-то типа: "Да это же изи. Сейчас все сделаю". И … "зависают" минут на 20 над следующей задачей.
Задача 4. Один велосипедист проезжает 12 км в час, а другой – 15 км в час. Какое будет между ними расстояние за час до встречи?
Они ведь выучили метод - формулу зависимости между расстоянием, скоростью и временем. То есть должно быть известны две из этих величин, тогда легко можно найти третью. И в этой задаче вроде есть скорости, есть время (1 час), надо найти расстояние. Что же не так? А не так здесь вот что: нет начала движения, нет в явном виде точек А и В, между которыми нужно найти расстояние.
Что нужно уметь делать, чтобы решить эту задачу?
Правильно, нужно уметь размышлять! Ответ, кстати, в последней задаче - 27.
Математика повсюду. Буквально!
«Фантасты ничего не сумели предугадать»
А математики изменили мир
Примерно половина школьников, пыхтя над алгеброй или геометрией, размышляют о том, что в скором времени они смогут забыть математику, как страшный сон. Нелли Литвак и Андрей Райгородский в своей книге «Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир» спешат огорчить и одновременно обрадовать таких «математиков»: расстаться с ней не получится, потому что она повсюду. Буквально. Без нее невозможно существование современных авиации, страхования, железных дорог, медицины, интернета, экономики... И это хорошо. «Лента.ру» публикует отрывок из книги, которая стала финалистом премии в области научно-популярной литературы «Просветитель».
Лучший ответ на вопрос «Кому нужна математика?»
Пожалуй, приз за лучший ответ на вопрос «Кому нужна математика?» можно смело отдать выдающемуся немецкому математику по имени Мартин Гротшел. Не гарантируем точности изложения, но байка, которую рассказывают на конференциях, звучит так:
Как-то раз немецкое правительство решило выделить целевым образом значительные суммы на развитие самых передовых и необходимых областей науки. На заседание государственной комиссии были приглашены физики, химики, биологи — представители всех наук. Гротшел представлял математику. Все ораторы с огромным энтузиазмом рассказывали о необыкновенных достижениях своей науки и том, как без нее мир и Германия рухнут. Естественно, все докладчики выходили за рамки отпущенного времени. Гротшел выступал последним. Заседание уже подходило к концу, чиновники сидели осоловевшие от обрушенного на них потока информации. Гротшел вышел на трибуну и сказал примерно следующее:
— Уважаемые господа! Я не буду утомлять вас длинной речью, а просто приведу пример. Недавно мы получили заказ от большой страховой компании, планирующей создать автосервис для своих клиентов. Идея очень проста: если у клиента в дороге сломалась машина, он может позвонить по телефону и к нему тут же приедет аварийная служба. Вопрос в том, как правильно организовать такой сервис. В принципе, задачу можно решить довольно просто — например, приставить к каждому клиенту личную аварийную машину с механиком. Тогда клиент в любой момент немедленно получит помощь. Но это очень дорого! Другой вариант — вообще не связываться с аварийным сервисом. Клиенты могут ждать до бесконечности, зато это не будет стоить им ни цента. Так вот.
Если вас эти решения не устраивают, то я должен вам сообщить, что для любых других вариантов понадобится математика!
Спасибо за внимание.
Нужно ли говорить, что математика получила колоссальные правительственные субсидии. Результаты этих инвестиций во всех областях, от транспорта до медицины, абсолютно потрясающие!
Кстати, среди студентов Нелли приз за лучший ответ получила Клара, которая сказала, что без математики невозможно было бы составить расписание поездов и они все время сталкивались бы друг с другом. О расписаниях поездов мы подробнее расскажем в главе 2, а пока немножко поговорим о том, чем занимаются профессиональные математики, от выпускников вуза в компаниях до ведущих ученых теоретиков.
Математика на каждый день
На выпускников с дипломом математика в Европе большой спрос. Даже средненькие студенты легко находят работу. Причем они далеко не всегда становятся программистами, даже если их компания и производит программное обеспечение. Оптимальный красивый код — это задача инженеров-программистов. Задача математиков — придумать методы решения проблемы.
Сфера деятельности математиков очень широкая: логистика, планирование, высокотехнологичное производство, биомедицинские технологии, финансы.
Среди ученых-математиков есть те, кто напрямую работает с приложениями. Мор Харкол-Балтер из университета Карнеги — Меллон говорит, что все ее исследования основаны на приложениях. Например, в 2011 году она сотрудничала с «Фейсбуком». По оценкам Мор, «Фейсбук» задействовал свои включенные серверы не более чем наполовину, а остальное время они простаивали. Включенный и незадействованный сервер тратит примерно две трети энергии работающего сервера. Но компании боятся выключать серверы, потому что чем их больше, тем быстрее они справляются с запросами пользователей. При этом на включение сервера уйдет 4–5 минут, а «Фейсбук» хочет выполнять запрос за полсекунды! Однако Мор не сомневалась, что серверы можно спокойно отключать. Из математической теории — теории массового обслуживания — ясно следовало, что если серверов много (а у «Фейсбука» их очень много!), то время, затраченное на включение, не оказывает никакого влияния. Мор и ее ученики разработали метод, при котором серверы включались и выключались без какого-либо ущерба для пользователей. «Фейсбук» последовал рекомендациям и, по утверждению компании, теперь экономит 10–15% энергии.
Профессора университета Твенте Ричард Бушери и Эрвин Ханс и их ученики занимаются логистикой здравоохранения. В результате их исследований в больницах Нидерландов произошли существенные изменения. Например, больница в Роттердаме раньше всегда держала наготове специальную операционную для экстренных операций. Большую часть времени операционная пустовала, драгоценное время тратилось впустую. Но менеджмент опасался, что в противном случае экстренным пациентам придется ждать слишком долго. При этом им все равно приходилось ждать, скажем, если вдруг привозили сразу двух экстренных пациентов. Математические подсчеты показали, что правильно составленное расписание плановых операций (еще одна нетривиальная задача!) позволяет быстро принять практически всех экстренных пациентов. В результате экстренную операционную упразднили и отдали под плановые операции.
Многие математики работают с приложениями, но далеко не все настолько вплотную, как в приведенных выше примерах. Разработка новых теорий важна для практики не меньше, чем решение непосредственных практических задач. Об этом мы поговорим подробнее в следующих разделах.
Новые теории для современной практики
В 2008 году международное статистическое сообщество отпраздновало столетие со дня появления распределения Стьюдента. Стьюдент — это псевдоним очень талантливого математика по имени Вилльям Госсет. Госсет работал на пивоваренном заводе «Гиннесс» в Дублине. Его исследования в области статистики имели чисто коммерческие цели: они применялись при тестировании качества сырьевых продуктов, из которых делали пиво. Госсету не разрешалось публиковать труды по статистике под собственным именем, поэтому он публиковался под псевдонимом Стьюдент. Госсет вывел новое распределение вероятностей (распределение Стьюдента) и на его основе разработал теперь уже классическую статистическую процедуру, знаменитый t-тест.
t-тест обычно используется при необходимости сравнить случайную выборку с какой-то нормой или две случайные выборки между собой. Например, вы выпускаете шурупы и хотите проверить, соответствуют ли они норме по длине. Или вам нужно сравнить урожайность при использовании двух разных видов удобрений. Такие тесты широко применяются на практике, для них разработано стандартное программное обеспечение, t-тест не проходят разве что на филфаке.
За 100 лет статистика ушла далеко вперед. Сара ван де Гейр, профессор Швейцарской высшей технической школы Цюриха, работает над тестами с многомерными данными. Задача, так же как и задача Госсета, пришла из практики. Компания DSM в Швейцарии выпускает витамины и пищевые добавки. Витамин В2 производится с помощью бациллы сенной палочки. Компания хочет увеличить выпуск витамина благодаря генной инженерии. Имеются измерения производительности 115 бактерий, генный состав которых включает 4088 возможных генов. Спрашивается, какие гены способствуют росту производства витамина В2?
Это очень сложная задача, учитывая, что данных мало, а параметров много, причем все они взаимосвязаны. Существующие теории для этого случая не подходят, поэтому Сара и ее сотрудники сосредоточились на создании новых теорий. Это очень сложная математика, доступная только специалистам. Но то же самое сто лет назад можно было сказать и о работе Госсета! И мы совершенно не удивимся, если статистические процедуры, разработанные Сарой, через пару десятков лет займут свое место в университетских учебниках по статистике и задачка про сенную палочку будет предложена студентам-биологам на экзамене. Когда мы поделились этими мыслями с Сарой, она абсолютно серьезно сказала: «Конечно, очень скоро это будет стандартная статистика».
Поскольку современная реальность постоянно усложняется, существующего математического аппарата часто не хватает. И это, безусловно, мощный стимул для появления новых задач и теорий.
Математика неизвестного будущего
Не все математические задачи взяты из практики. Так и должно быть, потому что мы не можем с уверенностью предсказать пути развития общества и технологий даже в ближайшем будущем. Это не по силам даже самым информированным людям с совершенно неуемной фантазией. Например, хорошо известно, что писатели-фантасты практически ничего не сумели предугадать. В основном они описывали технологии своего времени, приукрашивая их фантастическими деталями.
Никто не предрек появления интернета. Наоборот, Нобелевский лауреат Деннис Габор, изобретатель голографии, в 1962 году заявил, что передача документов по телефону хоть и возможна в принципе, но требует таких огромных расходов, что эта идея никогда не найдет практического воплощения. При этом первый успешный модем был представлен в том же году! А Кен Олсен, один из создателей Digital Equipment Corporation (DEC), в 1977 году сказал, что вряд ли найдется человек, которому может дома понадобиться компьютер. Через сколько лет после этого компьютер появился в вашем доме?
Никто не знает, какая абстрактная теория завтра может найти практическое применение. Потрясающий пример — теория чисел, область математики, изучающая числа и их закономерности. Теория чисел оставалась абстрактной наукой со времен Древней Греции до второй половины XX века. Сегодня эта теория широко используется для шифрования сообщений, передаваемых через интернет. Именно благодаря ей сохраняется конфиденциальность ваших паролей и номеров кредитных карточек, когда вы вводите их на многочисленных сайтах. Мы расскажем об этом подробнее в главе 7.
Наконец, нам трудно удержаться от еще одного варианта ответа на вопрос, зачем нужны новые сложные теории. Да просто ради красоты этих теорий! Красивая математика имеет полное право на существование. В научном мире должно оставаться что-то от Касталии Германа Гессе, где ученым разрешено заниматься чем угодно, где целью жизни может стать «игра в бисер» — «самая блистательная и самая бесполезная». Почему? Потому что нельзя поставить науку полностью на службу материальным нуждам общества. Наука выполняет функцию просветительства. Это единственная сфера деятельности, в которой человек может работать, движимый исключительно непрактическим любопытством. Грубо говоря, наука делает мир умнее и нужна человечеству так же, как и искусство, которое делает мир более духовным.
Фрагмент публикуется с разрешения издательства «Манн, Иванов и Фербер»
Источник: https://m.lenta.ru/articles/2017/11/11/prosvetitel3/amp/.
1 сентября - НЕ грустный праздник...
Вопрос или утверждение?
Все сейчас (ученики, родители, учителя) "поздравляют" друг друга
с началом учебного года можно сказать "со слезами на глазах".
Об этом пестрят все соцсети. Только ленивый не высказался о том,
как ему плохо, что опять наступает 1 сентября. Для всех это начало
9-месячных баталий, в которых победителей не будет.
У каждого - свои причины.
Ученики - не хотят учиться, потому что не видят в этом смысла,
не верят в учителей, в то, что они способны принести им знания.
А главное, им не понятно, зачем они - эти знания…
Учителя - не хотят учить, потому что им мало платят, заставляют
большую часть времени тратить на бесконечные программы,
отчеты и т.п.; потому что ученики не хотят учиться…
Родители - не хотят следить за своими детьми, чтобы они учились, не хотят скандалить из-за невыполненных домашних заданий, из-за двоек на контрольных, из-за поборов в школах…
Вот и для меня 1 сентября никогда не был праздником.
Когда я стал преподавателем, было понятно, что на одну зарплату прожить нереально. Приходилось работать сразу в нескольких школах и вузах. Поэтому "1 сентября" - это огромные переживания на тему: "А удастся ли мне в этот раз состыковать все расписания?" Чаще всего удавалось, но сколько нервов мне это стоило. После того как расписание наконец-то утряслось, обязательно находилось место, где оно по какой-то причине менялось. Через пару недель после начала занятий. И так два раза в год, поскольку в вузах учатся по семестрам. При такой огромной нагрузке, огромна и отчетность (бумажная работа). И тут начинаются переживания, чтобы все успеть. А еще надо находить время, чтобы готовиться к урокам, к лекциям.
Одна моя коллега как-то жаловалась, что, ее, работавшую в лицее с хорошими учениками, упрекают коллеги из других школ (обычных, общеобразовательных), что, мол, с хорошими-то учениками что ж не работать, они сами все выучат и поймут, вот попробуйте с нашими, мол. На это она (моя коллега) им возразила, что как раз все наоборот, попробуй прийти не подготовленным к таким ученикам, попробуй при них не решить задачу, не вспомнить теорему…, считай все, больше от них уважения не получишь. И тут я с ней полностью согласен.
Так что для меня "1 сентября" - это всегда было ожиданием огромного тяжелого труда, нервотрепок с учениками, их родителями, с заполнением классных журналов и отчетов… Очень много работы за небольшие деньги!
БЫЛО…! А в этом году все по-другому!
Теперь у меня ученики только те, которые хотят учиться, ходят на занятия с удовольствием, сами стараются из меня выудить как можно больше знаний и умений. Их родители, знают зачем они привели своих детей ко мне. У каждого, кстати своя причина, но в одном они схожи - желание развить у ребенка не тривиальное, логическое мышление посредством математики. И они видят результаты.
Да, работы у меня получилось много, занята вся сетка расписания: с понедельника по воскресенье, с 8.30 до 20.00. Но эта работа, от которой получаешь удовольствие: профессиональное, творческое, материальное…
Так что для меня в этом году "1 сентября" - не грустный праздник!
С началом учебного года, дорогие мои ученики и родители!
Ваш
Максим
Александрович
Гаер,
руководитель и организатор,
а также один из преподавателей
математического кружка "Маленький МАГ".
Олимпиада по математике - это не контрольная работа
Иногда ко мне приходят родители моих учеников (настоящих и/или будущих) с просьбой подготовить их ребенка к олимпиаде по математике, которая будет, скажем, через неделю. Порешайте, мол, с ним подобные задачи, или вот еще лучше, покажите, как правильно оформлять решение задач.
По этому поводу хотелось бы внести некоторую ясность.
Олимпиада по математике - это не контрольная работа по конкретной теме. К ней нельзя приготовиться "вдруг", за неделю, за одно-два занятия…
Хотя круг тематики задач, представляемых на олимпиадах, не очень уж и широк, однако сами задачи могут быть весьма разнообразны. И построение решения этих задач может потребовать не только нетривиальных идей и методов, которые мы изучаем на наших кружках, усложняя и углубляя их от занятия к занятию, из года в год, а еще и некоторой математической интуиции, чутья - таланта, одним словом!
На решение олимпиадных задач нельзя, что называется, "натаскать" ученика, как при подготовке к контрольной работе или к экзамену, тем более за короткое время, тем более, если раньше он никогда не решал нестандартные задачи. Даже, если он отличник (кстати, это весьма субъективный параметр - мнение конкретного учителя математики).
К слову сказать, чаще бывает так, что талантливые (в математическом смысле) дети, участвующие и побеждающие в олимпиадах, на обычных уроках не являются отличниками. Но эта тема заслуживает отдельного внимания, может мы еще поговорим об этом.
Вернемся к нестандартным и олимпиадным задачам по математике. Нестандартными в математике считаются те задачи, алгоритм решения которых учащимся неизвестен, и нужен самостоятельный поиск ключевой идеи.
На занятиях математического кружка учащиеся узнают разнообразие нестандартных задач, множество приемов, помогающих решить задачу, учатся пользоваться этими приемами.
Без подобного обучения (или самообучения) практически невозможно добиться успехов в олимпиадах чуть более высокого уровня, чем школьный этап, в том числе и из-за конкуренции среди участников. Хотя, как пишут наши коллеги из творческой лаборатории 2х2, "участвовать в олимпиаде всегда полезно и интересно, вне зависимости от уровня подготовки"( <https://vk.com/im?sel=18624081> ).
Таким образом, подготовка к олимпиаде по математике заключается в постоянных (регулярных) занятиях в математических кружках, участием в олимпиадах и других математических соревнованиях различного уровня и формы проведения. Это дает возможность к саморазвитию, возможность все время быть, что называется, "в форме", быть готовым к участию в математических соревнованиях в любой момент.
Специальные усиленные занятия непосредственно перед олимпиадой всё же полезны: всё, как в спорте. В это время можно вспомнить, отработать, повторить основные методы, подходы, идеи, изученные ранее, чтобы мозг поддержать в состоянии готовности к нестандартным решениям.
Если говорить об оформлении решений олимпиадных задач, то нет тут никаких строгих стандартов. Еще раз напомним, это не контрольная работа.
Основная проблема бывает в том, что некоторые участники пишут просто ответ и всё. Это как раз начинающие участники!
Конечно же на олимпиадах проверяются не ответы, а решения. И те, кто занимается в математических кружках, это прекрасно понимают, причем чаще на подсознательном уровне.
Кроме того, у таких участников также не возникает вопроса как оформить решение. Хотя специально мы этому их не учим, всё получается само собой.