1. Общие методы математических рассуждений.

 

           Задания данного раздела создают основу для самостоятельного получения теоретического материала для решения задач, относящихся к другим темам. Содержание раздела направлено на формирование представления о единстве методов, применяемых в различных областях математики. Поэтому задачи этого раздела подбирались так, чтобы они охватывали как можно больше различных областей применения общих принципов. Многие идеи, такие как: разумно организованный перебор, обратный ход, принцип Дирихле, могут быть успешно освоены школьниками уже в 5 классе и в дальнейшем используются ими в качестве инструмента для решения различных задач. Решение задач на отыскание закономерностей, исследование процессов и алгоритмов, поиск инвариантов стимулирует творческое начало, позволяет школьникам почувствовать атмосферу научного исследования. Умение обнаруживать инварианты и полуинварианты, критерии роста позволяет в дальнейшем существенно сократить и упростить решение многих задач, при помощи сужения области поиска ответа. Знание метода математической индукции несомненно оказывается полезным при решении задач самого разного плана. При аккуратном введении метода математической индукции через последовательное конструирование и совместное решение нескольких ключевых задач многие учащиеся овладевают этим методом уже через 2 – 3 занятия и в дальнейшем успешно используют его при решении различных задач.

 

2. Арифметика и элементы теории чисел.

 

          Темы данного раздела достаточно четко делятся на две основные группы. Прежде всего, это текстовые задачи, решаемые арифметическими методами. Тематика этих задач близка к школьной программе и отличается от нее только уровнем сложности решаемых задач. При решении задач этого раздела, основной акцент делается на решении их именно арифметическими методами.

Вторую группу составляют тему близкие к теории чисел: делимость, арифметика остатков, сравнения и их свойства, решение уравнений в целых числах. Хотя основная теорема арифметики вводится в младших классах без доказательства, необходимо указать на ее неочевидность. Желательно рассмотреть доказательства неограниченности ряда простых чисел по Евклиду и по Эйлеру и включить в теоретический материал основные положения арифметики остатков, свойства сравнений, лемму Вильсона, малую теорему Ферма, китайскую теорему об остатках, понятие полной системы вычетов, теорему Эйлера. Рассматриваются так же способы решения линейных и нелинейных диофантовых уравнений. В качестве исследовательских задач предлагаются задачи на отыскание общего вида пифагоровых троек и исследование совершенных чисел.

         Рассматриваются так же особенности десятичной записи чисел, другие системы счисления и природа признаков делимости. Задачи этого плана позволяют учащимся усвоить различие между свойствами числа самого по себе и свойствами его записи в той или иной форме. Теоретический материал по недесятичным системам счисления сопровождается задачами, при решении которых такие системы возникают естественным образом.

 

3. Логика. Игры. Конструкции.

 

         Занятия раздела «Логика» направлены, в первую очередь, на формирование навыков верных доказательных рассуждений. При решении логических задач отслеживается полнота и обоснованность рассуждений, умение сформулировать прямое и обратное утверждение, утверждение, противоположное данному, сделать заключение из предлагаемых посылок.

Занятия по теме «Игры» вызывают большой интерес у школьников младших классов и позволяют ввести элемент развлечения, снятия усталости. Вместе с тем эти задачи весьма содержательны и при изложении их решений от учащихся требуется высокий уровень строгости изложения, так как необходимо грамотно сформулировать стратегию и доказать, что она действительно исчерпывает все варианты игры. Все это развивает разговорную математическую культуру и четкое понимание того, что значит решить задачу. В теоретической части данной темы рассматриваются способы поиска выигрышных позиций и доказательства существования выигрышной стратегии, принцип передачи хода, описание игры при помощи направленного графа, игры как суммы двух более простых игр, отыскание стратегии при помощи перехода к недесятичным системам счисления.

           Решение задач темы «Конструкции» предполагает получение ответа на вопрос: «Можно ли…?», при этом для достижения поставленной цели предлагается определенный набор разрешенных операций, либо минимизировать способ достижения поставленной цели. Решение таких задач сводится к алгоритму, лежащему в основе любой исследовательской деятельности: попытка построения требуемой модели, а в случае неудачи – попытка доказательства невозможности такого построения или понимание проблем, которые необходимо устранить для успешного решения задачи. При доказательстве минимальности построенной модели обычно используются методы, которые рассматривались в первом разделе.

 

​

4. Геометрия.

 

         Геометрия – уникальный полигон для выработки логичного и последовательного мышления. Задачи, предлагаемые в начале рассматриваемых тем, практически совпадают с задачами и теоремами обычных школьных курсов. Однако, необходимо убедиться, что учащиеся хорошо знают основные теоремы и умеют их применять.

         Задачи этого раздела направлены, с одной стороны, на обучение использованию многих важных фактов и методов, входящих в школьный курс геометрии, но недостаточно прорабатываемых при решении задач. Сюда следует отнести метод геометрических мест, векторы, движения и их композиции, геометрические неравенства. Тем не менее, существует достаточно много интересных и сложных задач, требующих для решения использование этих методов или их комбинаций. При этом формируются навыки использования движений в задачах на отыскание минимального периметра, либо минимального пути, в доказательстве геометрических неравенств, при решении задач на построение.

     С другой стороны, рассматриваются некоторые вопросы комбинаторной геометрии – разбиения и покрытия, плоские решетки и формула Пика для площади многоугольника на решетке 1×1, расположение прямых, точек и отрезков. В дальнейшем эти темы пересекаются с комбинаторикой и теорией графов. 

 

5. Комбинаторика, элементы теории множеств, графы.

 

           Так как элементы комбинаторики стали появляться в программах по математике уже в 5 – 6 классах, то представляется совершенно обоснованным предложить учащимся, успешно овладевшими основами арифметики, некоторые, доступные им, идеи, лежащие в основе комбинаторики. При этом при помощи относительно простых рассуждений можно получить неочевидные факты, лежащие в основе других областей. Кроме решения непосредственно комбинаторных задач можно рассмотреть свойства биноминальных коэффициентов.

            На занятиях, посвященных теории множеств, на теоретический материал отводится значительно больше времени, чем при прохождении других тем. Это связано с тем, что необходимо дать основные понятия: множество, элемент множества, подмножество, объединение, пересечение, разность множеств, показать связь понятий теории множеств с положениями формальной логики, бинарные отношения и их свойства. При этом, например, после рассмотрения отношений эквивалентности, классов эквивалентности и их свойств, естественно ввести вектор как класс эквивалентности направленных отрезков и указать на важность векторов с точки зрения физики.

             Теория графов оказывается чрезвычайно полезной при решении многих, внешне непохожих друг на друга задач. Главная цель научить учащихся видеть граф в условии задачи и грамотно перевести это условие на язык теории графов. Важно, чтобы школьники правильно применяли теорему о четности нечетных вершин графа, понимали, что такое компонента связности и умели пользоваться критерием эйлеровости. Необходимо ввести понятия цикла, дерева, минимального дерева, полного графа, ориентированного графа, плоского графа, обратить особое внимание на формулу Эйлера.

 ​